# Chapitre B. Dynamique

### **Chapitre B. Dynamique**

Pour un certain nombre d’applications, tel que les calculs sismiques, les impacts, les études vibratoires, … il est nécessaire de considérer les phénomènes dynamiques.

Les chargements dynamiques appliqués à une structure de génie civil appartiennent basiquement à deux catégories :

<div class="level3" id="bkmrk-les-ph%C3%A9nom%C3%A8nes-assim"><div class="level3">- <div class="li">les phénomènes assimilables à des phénomènes stationnaires : écoulement permanent de vent, houle, machine tournante,</div>
- <div class="li">les phénomènes transitoires : impact, explosion, séisme.</div>

</div></div>Concernant les mouvements sismiques, s’ils sont théoriquement considérés comme transitoire, il est néanmoins admis de les assimiler comme des phénomènes stationnaires pendant leur durée de phase forte. Pour les cas où l'on cherche à modéliser la structure en intégrant des non linéarités géométriques ou matérielles, on ne peut plus considérer de caractère stationnaire

On distingue ensuite les moyens de représenter les catégories de chargements :

<div class="level3" id="bkmrk-stationnaire-%3A-trans"><div class="level3">- <div class="li">Stationnaire :</div>
    - <div class="li">Transformée de Fourier complexe (TF) ;</div>
    - <div class="li">Densité spectrale de puissance (DSP) ;</div>
    - <div class="li">Spectre de réponse d’oscillateur (SRO).</div>
- <div class="li">Transitoire :</div>
    - <div class="li">Courbe de chargement de déplacement, vitesse ou accélération exprimée en fonction du temps ;</div>
    - <div class="li">Effort ou pression exprimé en fonction du temps.</div>

</div></div>Deux grandes familles d’analyses peuvent être considérées :

<div class="level3" id="bkmrk-l%E2%80%99analyse-modale-qui"><div class="level3">- <div class="li">L’analyse modale qui permet de connaître les fréquences propres et les modes propres d’une structure et servira pour caractériser :</div>
    - <div class="li">la réponse au chargement stationnaire appliqué via une méthode de réponse spectrale ;</div>
    - <div class="li">la réponse temporelle par intégration de Duhamel de chaque réponse modale à la courbe de chargement ;</div>
    - <div class="li">une fonction de transfert convoluée au signal exprimé de manière fréquentielle pour délivrer une réponse en DSP ou TF.</div>

- <div class="li">La dynamique temporelle qui permet de calculer la réponse dynamique transitoire de la structure pour une excitation temporelle quelconque. Cette résolution est faite à l’aide de schémas d’intégration temporelle, qui peuvent être explicites ou implicites.</div>

</div></div>Les schémas explicites imposent de choisir des pas de temps très petits ; ils sont donc le plus souvent utilisés pour résoudre des problèmes sur des temps courts (type impact). Au contraire, les schémas implicites permettent d’utiliser des pas de temps plus grands et sont donc privilégiés pour étudier des plages temporelles plus grandes.

**Exemples d’applications**

<div class="level3" id="bkmrk-applications-repr%C3%A9se"><div class="level3"><div class="table sectionedit2"><table class="inline"><thead><tr class="row0"><td class="col0 leftalign">  
</td><th class="col1 leftalign">Applications</th><th class="col2 leftalign">Représentation du chargement</th><th class="col3 leftalign">Grandeurs accessibles</th></tr></thead><tbody><tr class="row1"><th class="col0 leftalign" rowspan="3">Modal</th><td class="col1 leftalign" rowspan="2">Analyse vibratoire</td><td class="col2 leftalign">TF</td><td class="col3 leftalign">TF</td></tr><tr class="row2"><td class="col0 leftalign">DSP</td><td class="col1 leftalign">DSP</td></tr><tr class="row3"><td class="col0 leftalign">Suivi de fréquence propre</td><td class="col1 leftalign">SRO</td><td class="col2 leftalign">Extrema spectraux de quantités d'intérêt variées</td></tr><tr class="row4"><th class="col0 leftalign" rowspan="2">Transitoire implicite</th><td class="col1 leftalign">Etude sismique</td><td class="col2 leftalign" rowspan="2">Accélérations, vitesses, forces, pressions ou déplacements en fonction du temps</td><td class="col3 leftalign" rowspan="2">Quantités d’intérêts diverses exprimées au cours du temps</td></tr><tr class="row5"><td class="col0 leftalign">Ebranlement</td></tr><tr class="row6"><th class="col0 leftalign" rowspan="2">Transitoire explicite</th><td class="col1 leftalign">Chute d’un objet</td><td class="col2 leftalign">Modélisation de projectiles en contact, chocs</td><td class="col3 centeralign" rowspan="2">Quantités d’intérêts diverses exprimées au cours du temps</td></tr><tr class="row7"><td class="col0 leftalign">Impact d’avion</td><td class="col1 leftalign">Accélérations, vitesses, forces, pressions ou déplacements en fonction du temps</td></tr></tbody></table>

</div></div></div>Le problème dynamique une fois discrétisé par éléments finis se ramène à la résolution de l’équation d’équilibre suivante (cf. chapitre 1) :

![](https://wiki.afgc.asso.fr/_media/accueil-gtef:partie-1:image068.png?w=400&tok=21a323)

<div class="level3" id="bkmrk-m-la-matrice-de-mass"><div class="level3">- <div class="li">M la matrice de masse exprimée aux nœuds,</div>
- <div class="li">C la matrice d’amortissement exprimée aux nœuds,</div>
- <div class="li">K la matrice de raideur exprimée aux nœuds,</div>
- <div class="li">q le vecteur des déplacements nodaux,</div>
- <div class="li">q' le vecteur des vitesses nodales,</div>
- <div class="li">q¨ le vecteur des accélérations nodales.</div>

</div></div>Dans le cas de l’analyse modale, on a recours au calcul des pulsations propres ω\_i et des modes propres associés φ\_i.

Dans le cas de l’analyse temporelle, on calcule à chaque instant t, par intégration directe des équations d’équilibre, les déplacements aux nœuds q(t) ainsi que les vitesses q'(t) et les accélérations q¨(t).

La seconde approche présente l’avantage de permettre de traiter des sollicitations non stationnaires.

#### B.1 Analyses reposant sur une recherche modale

[B.1 Analyses reposant sur une recherche modale](https://wiki.afgc.asso.fr/books/modelisations-et-calculs-aux-elements-finis-dans-le-domaine-du-genie-civil/page/b1-analyses-reposant-sur-une-recherche-modale "accueil-gtef:partie-1:chapitre-b:b1")

#### B.2 Analyses reposant sur une intégration temporelle directe

[B.2 Analyses reposant sur une intégration temporelle directe](https://wiki.afgc.asso.fr/books/modelisations-et-calculs-aux-elements-finis-dans-le-domaine-du-genie-civil/page/b2-analyses-reposant-sur-une-integration-temporelle-directe "accueil-gtef:partie-1:chapitre-b:b2")

#### B.3 Prise en compte de l'amortissement

[B.3 Prise en compte de l'amortissement](https://wiki.afgc.asso.fr/books/modelisations-et-calculs-aux-elements-finis-dans-le-domaine-du-genie-civil/page/b3-prise-en-compte-de-lamortissement "accueil-gtef:partie-1:chapitre-b:b3")

#### B.4 Spécificités de l'analyse sismique

[B.4 Spécificités de l'analyse sismique](https://wiki.afgc.asso.fr/books/modelisations-et-calculs-aux-elements-finis-dans-le-domaine-du-genie-civil/page/b4-specificites-de-lanalyse-sismique "accueil-gtef:partie-1:chapitre-b:b4")